数学物理方程 - 10.15 具体广义函数的 Fourier 变换、PDE 的一般理论

广义函数 Fourier 变换的等价形式

定理

若 $g\in {\mathcal{E}}^{\prime }\subset {\mathcal{S}}^{\prime }$ ，则 $\hat{g}(\xi )=⟨g(x),{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }⟩$ 且它为缓增 $C^{\infty }$ 函数.

具体广义函数的 Fourier 变换

例： $\delta$ 函数

求 $\hat{\delta }$ .

利用等价形式有

$$\hat{\delta }(\xi )=⟨\delta (x),{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }⟩=1$$

即 $\delta$ 函数的 Fourier 变换为 $1$ ，与此同时 ${\mathcal{F}}^{-1}(1)=\delta$ . $\square$

例： $1$

求 $1$ 作为广义函数的 Fourier 变换.

直接利用定义：

$$\begin{array}{rl}⟨\hat{1},\phi ⟩& =⟨1,\hat{\phi }⟩=\int \hat{\phi }(\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =(2\pi {)}^n(2\pi {)}^{-n}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}0\xi }\hat{\phi }(\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =(2\pi {)}^n⟨\delta ,\phi ⟩\end{array}$$

故 $1$ 的 Fourier 变换为 $(2\pi {)}^n\delta (x)$ . $\square$

函数反射的 Fourier 变换

定理：函数反射的 Fourier 变换

对 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，有 $\mathcal{F}(\check{f})=(2\pi {)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(f)$

$$\begin{array}{rl}⟨\mathcal{F}(\check{f}),\phi ⟩& =⟨\check{f},\hat{\phi }⟩=⟨f,{\mathcal{F}(\phi )}^{\stackrel{ˇ}{}}⟩\\ & =⟨f,(2\pi {)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(\phi )⟩\\ & =⟨(2\pi {)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(f),\phi ⟩\end{array}$$

故结论成立. $\square$

我们可以在 $1$ 上验证：由于 $1$ 的反射还是 $1$ ，因此有

$$\hat{1}=(2\pi {)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(1)=(2\pi {)}^n\delta$$

部分 Fourier 变换

PDE 的一般理论

Cauchy-Kowalevski 定理

这里请参阅教材知道结论即可，它对应了 ODE 当中的存在唯一性定理.

局部可解性

定义：局部可解性

设 $P=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }$ 为一个具有 $C^{\infty }$ 系数 $a_{\alpha }(x)$ 的 $m$ 阶线性偏微分算子，$x_0\in {\mathbb{R}}^n$ ，若 $\forall f\in C^{\infty }$ ，存在广义函数 $u$ 在 $x_0$ 的某个邻域中满足 $Pu=f$ 则称微分算子 $P$ 在 $x_0$ 是局部可解的.

定义即表示

$$⟨Pu,\phi ⟩=⟨f,\phi ⟩,\forall \phi \in \mathcal{E}(\Omega )$$

则可称 $u$ 为 $Pu=f$ 的分布意义弱解.

我们来说下为什么叫“分布意义”，因为广义函数在概率当中实际上就叫做分布，广义函数的一些形式实际上很符合 CDF 或者 PDF 的一些性质，例如对 delta 函数有

$${\int }_{\mathbb{R}}\delta (x)\mathrm{d}x=1,\delta (0)=\infty ,\delta (x)=0,x\ne 0$$

它实际上就可以表示退化分布 $X=0$ 的 PDF.

基本解

定义：基本解

设 $P(D)=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$ 是一常系数 $m$ 阶线性偏微分算子，若 $E\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 满足方程： $P(D)E=\delta$ 则称 $E$ 为 $P(D)$ 的基本解.

基本解的形式和局部可解性定义当中的式子很像，我们是否能建立其中的联系？事实上，我们有

命题

$Pu=f$ ，若 $E$ 为 $P$ 的基本解，则 $u=E\ast f$ 为 $Pu=f$ 的广义函数解.

由 $P(D)E=\delta$ 出发有

$$\begin{array}{rl}Pu& =P(E\ast f)\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }(E\ast f)\\ & =\left(\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }E\right)\ast f\\ & =(PE)\ast f=\delta \ast f=f\end{array}$$

$\square$

例

若 $P=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ ，求其基本解.

根据

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}H(x)=\delta (x)$$

其中 $H$ 为 Heaviside 函数，我们再加个常数即有 $H(x)+C$ 为基本解. $\square$

作业

无作业.