数学物理方程 - 10.17 基本解边值问题、PDE 一般形式、Laplace 方程的基本解

基本解初值（边值）问题

例 1

解如下广义函数边值问题，求 $E(x,y)$ ： $\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}E(x,y)=\delta (x-y),x,y\in (0,1)$ 其中 $E(0,y)=E(1,y)=0.$

首先我们考虑

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[H(x-y)+C_1(y)]=\delta (x-y)$$

因此有

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}E(x,y)=H(x-y)+C_1(y)$$

最后我们仅需直接积分，有

$$\int H(x-y)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}0,& x<y\\ x-y,& x>y\end{array}=(x-y)H(x-y)$$

因此

$$E(x,y)=(x-y)H(x-y)+x{C}_1(y)+C_2(y)$$

代入边值：

$$\{\begin{array}{l}-yH(-y)+C_2(y)=0,\\ H(1-y)+C_2(y)+C_1(y)=0\end{array}$$

由 $y\in (0,1)$ 可知 $H(-y)=0,H(1-y)=1$ . 因此

$$E(x,y)=(x-y)H(x-y)+xy-x$$

即为本问题的解. $\square$

例 2

求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=\delta (x)$ 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的一切解.

如果将 $\delta (x)$ 视为普通的函数，那么这是一个一阶非齐次常系数线性 ODE ，因此考虑常数变易法：其对应的齐次线性方程为

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=0$$

容易解得 $y=C{\mathrm{e}}^{-ax}$ ，其中 $C$ 为常数，令 $C=C(x)$ ，求导有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay={\mathrm{e}}^{-ax}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}C(x)=\delta (x)$$

由于 ${\mathrm{e}}^{ax}$ 在 $x=0$ 时取值为 $1$ ，有

$$C(x)=\int {\mathrm{e}}^{ax}\delta (x)\mathrm{d}x=\int \delta (x)\mathrm{d}x=H(x)+c$$

因此 $y=[H(x)+c]{\mathrm{e}}^{-ax}$ ，其中 $c$ 为常数. $\square$

例 3

若例 2 中的解可进行 Fourier 变换，试确定常数.

考虑 ${\mathrm{e}}^{-ax}$ 为缓增 $C^{\infty }$ 函数，那么就可以应用 Fourier 变换.

此时即有 $ax⩾0$ ，若 $a⩾0$ ，则有两种情形

$$\{\begin{array}{l}x⩾0\\ x<0\end{array}$$

当 $x<0$ 时，此时 $ax<0$ ，因此必须有 $H(x)+c=0$ 来保证其缓增，即有 $c=0$ ，而 $x⩾0$ 时，根据 $H(x)+c=1\ne 0$ ，可知 $y$ 为不恒为 $0$ 的缓增 $C^{\infty }$ 函数.

反之， $a<0$ 时类似有 $c=-1$ . $\square$

PDE 的一般形式

PDE 的阶数

PDE 的一般形式为

$$F(x,u,u_{x_1},\cdots ,u_{x_n},u_{x_1{x}_1},\cdots ,u_{x_n{x}_n},\cdots )=0$$

其中，最高阶微分的阶数称为 PDE 的阶数，例如对如下的 Laplace 方程：

$$\Delta u=f$$

它是二阶的 PDE.

线性和非线性

形如

$$\sum _{|\alpha |⩽k}{D}^{\alpha }u=f(x)$$

的 PDE 称为线性 PDE ，若 $f=0$ ，则称该方程为齐次方程，反之则为非齐次方程. 除上述形式之外的方程形式都称为非线性 PDE .

对如下形式：

$$\sum _{|\alpha |=k}{a}_{\alpha }(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)D^{\alpha }u+a_0(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0$$

即最高次微商是线性的，且其系数依赖低次微商，则称其为拟线性 PDE，在拟线性 PDE 的基础上，对如下形式：

$$\sum _{|\alpha |=k}{a}_{\alpha }(x)D^{\alpha }u+a_0(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0$$

即仅有最高次项为线性，且其系数仅为以 $x$ 为自变量的函数，其余为非线性的方程，称其为半线性 PDE.

二阶线性 PDE 的分类

即为椭圆型、抛物型、双曲型，在第一节课已经说明.

椭圆型方程 (Laplace 方程)

记

$$\Delta =\sum _{j=1}^n{\partial }_{x_j}^2$$

为 Laplace 算子，利用 Laplace 算子即可定义如下方程：

$$-\Delta u=f(x)$$

在 $f(x)\not\equiv 0$ 时称为 Poisson 方程，在 $f(x)\equiv 0$ 时称为 Laplace 方程.

Laplace 方程的基本解

定义：Laplace 方程的基本解

若 $V(x,y)$ 为 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 中的广义函数，且满足方程 $\Delta V=\delta (x-y)$ 其中 $\delta$ 为 Dirac 函数，那么称 $V$ 为 Laplace 方程的基本解.

Laplace 方程基本解的形式

考虑解出 Laplace 方程的基本解 $u$ ，考虑如下形式

$$u(x)=v(r)$$

其中 $r=|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$ ，其中

$$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\cdot 2x_i=\frac{x_i}{r}$$

因此我们有

$$u_{x_i}=v^{\prime }(r)\frac{x_i}{r},u_{x_i{x}_i}=v^{\prime \prime }(r)\frac{x_i^2}{r^2}+v^{\prime }(r)\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}\right)$$

作用 Laplace 算子后有

$$\Delta u=v^{\prime \prime }(r)+\frac{n-1}{r}{v}^{\prime }(r)$$

此时即化为如下的常微分方程：

$$v^{\prime \prime }+\frac{n-1}{r}{v}^{\prime }=0$$

在 $v^{\prime }\ne 0$ 的情况下，我们可得

$$(\ln |v^{\prime }|{)}^{\prime }=\frac{v^{\prime \prime }}{v^{\prime }}=\frac{1-n}{r}$$

故有

$$v(r)=\{\begin{array}{ll}b\ln r+c,& n=2\\ \frac{b}{r^{n-2}}+c,& n⩾3\end{array}$$

平均值公式