数学物理方程 - 10.22 Laplace 方程的基本解、调和函数的性质

Green 公式

设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是属于 $C^2(\overline{\Omega })$ 类的函数，应用分部积分公式，得到

$${\int }_{\Omega }v\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_j^2}\mathrm{d}x=-{\int }_{\Omega }\frac{\partial v}{\partial x_j}\frac{\partial u}{\partial x_j}\mathrm{d}x+{\int }_{\partial \Omega }v\frac{\partial u}{\partial x_j}{v}_j\mathrm{d}S$$

我们设 $\mathbf{\nu }=({\nu }_1,{\nu }_2,\cdots ,{\nu }_n)$ 为 $\partial \Omega$ 的单位外法向量，$\mathrm{d}S$ 表示 $\partial \Omega$ 的面积元素. 将上式对 $j$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，得到：

定理：Green 第一公式

${\int }_{\Omega }v\Delta u\mathrm{d}x=-{\int }_{\Omega }\sum _{j=1}^n\frac{\partial v}{\partial x_j}\frac{\partial u}{\partial x_j}\mathrm{d}x+{\int }_{\partial \Omega }v\frac{\partial u}{\partial \mathbf{\nu }}\mathrm{d}S$

同样，调换 $u,v$ 的顺序也是 Green 第一公式，将两个 Green 第一公式相减有：

定理：Green 第二公式

${\int }_{\Omega }(v\Delta u-u\Delta v)\mathrm{d}x={\int }_{\partial \Omega }\left(v\frac{\partial u}{\partial \mathbf{\nu }}-u\frac{\partial v}{\partial \mathbf{\nu }}\right)\mathrm{d}S$

基本解

基本解的形式

设球心为 $0$ ，此时我们考虑

$$r=|x|=\sqrt{\sum _{j=1}^n{x}_j^2}$$

其中 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ ，把它看作参数，我们曾在研究如下方程：

$$\Delta E(x)=\delta (x)$$

的时候，得到了如下的常微分方程：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}E}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\mathrm{d}E(r)}{\mathrm{d}r}=\delta (r)$$

解上述的二阶常微分方程可以得到如下的解：

$$E(r)=\{\begin{array}{ll}{c}_n{r}^{2-n},& n⩾3\\ c_2\ln \frac{1}{r},& n=2\end{array}$$

现在我们需要确定其中的常数，从而获得整个基本解.

基本解常数的确定

以 $n=3$ 为例，我们来讨论基本解常数的确定，即求出 $c_3$ .

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 为连通开集，$\partial \Omega$ 为光滑曲面，设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ ，即 $\Omega$ 内二阶连续可微，连续到边界的函数，$v=\frac{1}{r}$ .

设 $Q$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中球心，$B_{\epsilon }(Q)$ 为以 $Q$ 为球心，$\epsilon$ 为半径的闭球，以 $P$ 为动点考虑 $r=|PQ|$ ，令 ${\Omega }_{\epsilon }=\Omega \setminus B_{\epsilon }(Q)$ ，将 $u,v$ 代入 Green 第二公式：

$${\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}x={\int }_{\partial {\Omega }_{\epsilon }}\left(u\frac{\partial v}{\partial \mathbf{n}}-v\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right)\mathrm{d}S\text{\hspace{1em}(Green)}$$

从而可以推导出：

$${\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}\left(u\Delta \frac{1}{r}-\frac{1}{r}\Delta u\right)\mathrm{d}x={\int }_{\partial {\Omega }_{\epsilon }}\left(u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right)\mathrm{d}S\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中

$${\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}u\Delta \frac{1}{r}\mathrm{d}x=0$$

这是由于根据

$$\Delta E(r)=\delta (r)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& r=0\\ 0,& r\ne 0\end{array}$$

可得

$$\Delta \frac{1}{r}=\Delta r^{2-3}=\{\begin{array}{ll}\infty ,& r=0\\ 0,& r\ne 0\end{array}$$

因此在 ${\Omega }_{\epsilon }$ 中 $\Delta \frac{1}{r}$ 取值始终为 $0$ . 再考虑 $\partial {\Omega }_{\epsilon }=\partial \Omega \cap \partial B_{\epsilon }$ ，有：（注意积分法向量的方向）

$${\int }_{\partial {\Omega }_{\epsilon }}\left(u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\frac{1}{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right)\mathrm{d}S=\left({\int }_{\partial \Omega }+{\int }_{\partial B_{\epsilon }}\right)\left(u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\frac{1}{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right)\mathrm{d}S$$

而在 $\partial B_{\epsilon }(Q)$ ，$r=|PQ|=\epsilon$ . 于是有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\partial B_{\epsilon }}\left(u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\frac{1}{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right)\mathrm{d}S& ={\int }_{\partial B_{\epsilon }}\left[u(-1)\frac{\partial }{\partial r}\frac{1}{r}-\frac{1}{r}(-1)\frac{\partial u}{\partial r}\right]\mathrm{d}S\\ & =(-1){\int }_{\partial B_{\epsilon }}\left[u(-1)\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right]\mathrm{d}S\\ & ={\int }_{\partial B_{\epsilon }}\frac{u}{r^2}\mathrm{d}{S}_p+{\int }_{\partial B_{\epsilon }}\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\mathrm{d}{S}_p\end{array}$$

其中 $P$ 为 $\partial B_{\epsilon }(Q)$ 球面上的动点.

对最后的结果取积分中值有：

$$\frac{1}{{\epsilon }^2}u(Q^{\ast })\cdot 4\pi {\epsilon }^2+\frac{1}{\epsilon }\frac{\partial u}{\partial r}(\tilde{Q})\cdot 4\pi {\epsilon }^2$$

其中 $Q^{\ast },\tilde{Q}\in \partial B_{\epsilon }(Q)$ ，且 $\epsilon \to 0$ 时有 $Q^{\ast }\to Q,\tilde{Q}\to Q$ . 那么令 $\epsilon \to 0$ 可知上述结果趋于 $4\pi u(Q)$ . 那么对式 $(1.1)$ 有

$${\int }_{\Omega }-\frac{\Delta u}{r}\mathrm{d}x={\int }_{\partial \Omega }\left[u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right]\mathrm{d}S+4\pi u(Q)$$

因此

$$\begin{array}{rl}u(Q)& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\mathrm{d}S-\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}S\\ & -\frac{1}{4\pi }{\int }_{\Omega }\frac{\Delta u}{r}\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

$(1.2)$ 所示的公式称为位势积分公式. 设 $v=c_3\frac{1}{r}$ ，对于任意 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ ，$r=|PQ|$ 有：

$$\begin{array}{rl}\phi (Q)& ={⟨\delta (Q-P),\phi (P)⟩}_P\\ & ={⟨\Delta \left(c_3\frac{1}{r}\right),\phi (P)⟩}_P\\ & =c_3⟨\frac{1}{r},\Delta \phi (P)⟩=c_3{\int }_{\Omega }\frac{1}{r}\Delta \phi \mathrm{d}x\end{array}$$

又利用位势积分公式有

$$\begin{array}{rl}\phi (P)& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }\frac{1}{r}\frac{\partial \phi }{\partial \mathbf{n}}\mathrm{d}S-\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }\phi \frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}S\\ & -\frac{1}{4\pi }{\int }_{\Omega }\frac{\Delta \phi }{r}\mathrm{d}x\end{array}$$

因此根据 $\mathrm{supp}(\phi )\subset \subset \Omega$ ，第一、二项积分均为 $0$ ，最后比对系数可知 $c_3=-\frac{1}{4\pi }$ .

对 $n⩾3$ 的情况，详见 数学物理方程 - 第四次作业 .

总结

我们将基本解的结果汇总放在这里，首先是我们研究的方程：

$$\Delta E(x)=\delta (x)$$

我们经过换元之后得到了如下的常微分方程：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}E}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\mathrm{d}E(r)}{\mathrm{d}r}=\delta (r)$$

解上述的二阶常微分方程可以得到如下的解：

$$E(r)=\{\begin{array}{ll}{c}_n{r}^{2-n},& n⩾3\\ c_2\ln \frac{1}{r},& n=2\end{array}$$

在经过漫长的计算过程后，我们得到了两个非常重要的结果，其中之一是位势积分公式，

$$\begin{array}{rl}u(Q)& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\mathrm{d}S-\frac{1}{4\pi }{\int }_{\partial \Omega }u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}S\\ & -\frac{1}{4\pi }{\int }_{\Omega }\frac{\Delta u}{r}\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(3-Dimension)}$$

在 数学物理方程 - 第四次作业当中我们得到了 $n$ 维的位势积分公式：

定理：位势积分公式

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 为连通开集，$\partial \Omega$ 为光滑曲面，设调和函数 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ ，即 $\Omega$ 内二阶连续可微，连续到边界的函数，$v=r^{2-n}$ ，则 $\begin{array}{rl}u(Q)& =\frac{1}{n(2-n)\alpha (n)}{\int }_{\partial \Omega }{r}^{2-n}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\mathrm{d}S+\frac{1}{n(n-2)\alpha (n)}{\int }_{\partial \Omega }u\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}(r^{2-n})\mathrm{d}S\end{array}$

最后，我们确定了基本解的常数 $c_n$ ，因此基本解函数可表示为：

定理：Laplace 方程的基本解

称函数 $E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\pi }\ln \frac{1}{r},& n=2,\\ \frac{1}{n(n-2)\alpha (n)}{r}^{2-n},& n⩾3.\end{array}$ 为 Laplace 方程 $\Delta E(r)=\delta (r)$ 的基本解，其中 $\alpha (n)$ 为 $n$ 维单位球体的体积. 其值为 $\alpha (n)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}$

之后我们将会以多种方式来表示基本解，例如 $\Gamma (P,Q)$ 表示以 $Q$ 为球心，$r=|PQ|$ 的基本解函数.

平均值公式

球面平均值公式

定理：球面平均值公式

设 $u$ 为调和函数，$\Omega =B_R(Q)$ ，则有球面平均值公式： $u(Q)=\frac{1}{4\pi R^2}{\iint }_{S(Q,R)}u(P)\mathrm{d}{S}_P$

注意上述定理的各个式子的含义：

• $u(Q)$ ，即调和函数 $u$ 在 $Q\in {\mathbb{R}}^3$ 的取值；
• $4\pi R^2$ 即为球面面积，可推广到 $n$ 维；
• $S(Q,R)$ ，即球心为 $Q$ ，半径为 $R$ 的球面.
• $P$ 为积分动点.

证明： 我们讨论

球体平均值公式

极值原理