数学物理方程 - 11.12 椭圆型 PDE 解的正则性、抛物型方程

一般椭圆型 PDE 解的正则性

亚椭圆算子

定义：亚椭圆性

对 $C^{\infty }$ 系数的线性偏微分算子 $P=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }$ ，若 $\forall u\in {\mathcal{D}}^{\prime }$ ，都有 $\mathrm{singsupp}u\subset \mathrm{singsupp}Pu$ 则称 $P$ 是亚椭圆的.

我们暂且不说为什么要叫这样的名字，单论这个定义的 motivation ，我们需要一个性质来刻画算子：一个算子只要有这个性质，那么它的基本解可以很容易判断是正则的（光滑的），我们给出等价的定义来说明这一点.

等价定义：亚椭圆性

$P$ 是亚椭圆的当且仅当对任意开集 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 以及任意 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，由 $Pu\in C^{\infty }(\Omega )$ ，可得 $u\in C^{\infty }(\Omega )$ .

证明： 必要性：由于 $P$ 是亚椭圆的，可知对 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，有

$$\mathrm{singsupp}u\subset \mathrm{singsupp}Pu$$

但是 $Pu\in C^{\infty }(\Omega )$ ，因此 $\mathrm{singsupp}Pu=\varnothing$ ，继而 $\mathrm{singsupp}u=\varnothing$ ，即 $u\in C^{\infty }$ .

充分性：若 $Pu\in C^{\infty }(\Omega )$ ，则 $u$ 的光滑区域大于 $Pu$ 的光滑区域（若不然则无法在每个点无限微分），即

$$\mathrm{singsupp}u\subset \mathrm{singsupp}Pu$$

这就是亚椭圆的定义. $\square$

对于椭圆型方程

$$Pu=f$$

我们如果能证明其亚椭圆性，那么根据等价定义，如果 $f\in C^{\infty }$ ，那么 $u\in C^{\infty }$ ，这件事情表明了研究解的正则性无需解出方程.

对 $C^{\infty }$ 系数偏微分算子 $P$ ，我们考虑设 $E$ 为 $P$ 的基本解，则 $PE=\delta (x)$ ，那么

$$\mathrm{singsupp}PE=\mathrm{singsupp}\delta =\left\{0\right\}$$

那么，若 $P$ 为亚椭圆算子，则有 $\mathrm{singsupp}E(x)\subset \left\{0\right\}$ .

常系数线性偏微分算子的正则性

对于常系数线性偏微分算子，可通过基本解的奇支集判断它的亚椭圆性，即有如下的定理：

定理：常系数线性偏微分算子的亚椭圆性

设 $P$ 为常系数线性偏微分算子，并且有一基本解 $E(x)$ 使得 $\mathrm{singsupp}E=\left\{0\right\}$ 则 $P$ 必为亚椭圆的.

这个定理的证明被留作作业. 见 数学物理方程 - 第六次作业 $\square$

对于 Laplace 方程 $\Delta u=0$ ，$\Delta$ 是一个典型的常系数线性偏微分算子，且基本解我们已经求得：

$$E(r)=\{\begin{array}{ll}{c}_n{r}^{2-n},& n⩾3\\ c_2\ln \frac{1}{r},& n=2\end{array}$$

根据 $\mathrm{singsupp}E=\left\{0\right\}$ ，可知 $\Delta$ 为亚椭圆的.

根据这个结果，我们很快就能得到：

定理：Weyl-Schwartz 引理

$\Delta y=0$ 的一切 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 解均为 $C^{\infty }$ 解，进而是解析解.

由于 $0\in C^{\infty }$ 且 $\Delta$ 是亚椭圆的，这个结果显然. $\square$

但是注意，这里仅说明 $\Omega$ 内部光滑，在 $\partial \Omega$ 上其 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 解有可能具有很高的奇性.

抛物型方程

热传导方程

接下来我们研究热传导方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=\frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_k^2}=0$$

热传导方程的基本解

问题：热传导算子的基本解

设 $\frac{\partial E(x,t)}{\partial t}-a^2\Delta E(x,t)=\delta (x,t)$ 求 $E(x,t)$ .

两侧对 $x$ 作 Fourier 变换：

$${\mathcal{F}}_{x\to \xi }\left[\frac{\partial E(x,t)}{\partial t}-a^2\Delta E(x,t)\right]=[{\mathcal{F}}_{x\to \xi }\delta ](\xi ,t)$$

可得

$$\frac{\partial }{\partial t}\hat{E}(\xi ,t)+a^2|\xi {|}^2\hat{E}(\xi ,t)=\delta (t)$$

这样一个偏微分方程就转化为了一个一阶线性非齐次常微分方程. 利用常数变易法，可得齐次方程的解为

$$y(\xi ,t)=c{\mathrm{e}}^{-a^2|\xi {|}^{2}t}$$

再将 $c$ 视为 $c(t)$ 即可，最终可以解出来

$$\hat{E}(\xi ,t)=H(t){\mathrm{e}}^{-a^2|\xi {|}^{2}t}$$

（至于为什么解出来是 $H(t)$ ，见^71d87c中的例 2）

我们再利用 Fourier 逆变换，有

$$\begin{array}{rl}E(x,t)& ={\mathcal{F}}_{\xi \to x}^{-1}[\hat{E}(\xi ,t)]\\ & =(2\pi {)}^{-n}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }H(t){\mathrm{e}}^{-a^2|\xi {|}^{2}t}\mathrm{d}\xi ,t>0\\ & =H(t)(2\pi {)}^{-n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}|a\sqrt{2}t\xi {|}^2}(a\sqrt{2}t{)}^{-n}\mathrm{d}(a\sqrt{2}t)\end{array}$$

根据

$$\{\begin{array}{l}{\mathcal{F}}_{x\to \xi }\left[{\mathrm{e}}^{-\frac{|x{|}^2}{2}}\right]=(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{|\xi {|}^2}{2}}\\ {\mathrm{e}}^{-\frac{|x{|}^2}{2}}=(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{\mathcal{F}}^{-1}\left[{\mathrm{e}}^{-\frac{|\xi {|}^2}{2}}\right]\end{array}$$

从而

$$E(x,t)=H(t)(4\pi a^{2}t{)}^{-\frac{n}{2}}\exp \left\{-\frac{|x{|}^2}{4a^{2}t}\right\},t>0$$

这就是热传导算子的基本解. $\square$