数学物理方程 - 11.7 可去奇点定理、Harnack 不等式

作业为 6.2 T8

可去奇点定理

本周上课直接从 $n=2$ 可去奇点定理证明开始.

证明： 设 $B_R(A)\subset \subset \Omega$ ，$B_{\delta }(A)\subset \subset B_R(A)$ ，令

$$V_{\epsilon }=\epsilon \left(\ln \frac{1}{r(A,Q)}-\ln \frac{1}{R}\right)$$

则有

$$\{\begin{array}{l}\Delta V_{\epsilon }=0,x\in B_R\setminus B_{\delta }\\ V_{\epsilon }{|}_{\partial B_R}=0\end{array}$$

考虑取 $u_1$ 满足

$$\{\begin{array}{l}\Delta u_1=0,x\in B_R\\ \Delta u_1{|}_{\partial B_R}=0\end{array}$$

令 $w=u_1-u$ 则

$$\{\begin{array}{l}\Delta w=0,x\in B_R\setminus B_{\delta }\\ w{|}_{\partial B_R}=0\end{array}$$

且由 $\underset{Q\to A}{\lim }\frac{u(Q)}{\ln r(A,Q)}=0$ ，可得

Lemma. $\underset{Q\to A}{\lim }\frac{|w|}{\ln r(A,Q)}=\underset{Q\to A}{\lim }\frac{|u_1-u|}{\ln r(A,Q)}$

这是由于 $\underset{Q\to A}{\lim }\frac{u(Q)}{\ln r(A,Q)}=0$ 且 $\underset{Q\to A}{\lim }\frac{u_1(Q)}{\ln r(A,Q)}=0$ ，当 $Q\to A$ 时 $u_1(Q)\to u_1(A)$ ，且 $\ln r(A,Q)\to \infty$ ，因此对于固定的 $\epsilon >0$ ，有

$$\underset{Q\to A}{\lim }\frac{|w|}{V_{\epsilon }}=0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

即存在 ${\delta }_0$ 使得在 $\partial B_{{\delta }_0}$ 上成立 $|w|<V_{\epsilon }$ ，有

$$\{\begin{array}{l}\Delta (w-V_{\epsilon })=0,B_R\setminus B_{{\delta }_0}\\ (w-V_{\epsilon }){|}_{\partial B_R}=0\\ (w-V_{\epsilon }){|}_{\partial B_{{\delta }_0}}⩽0\end{array}\{\begin{array}{l}\Delta (w+V_{\epsilon })=0,B_R\setminus B_{{\delta }_0}\\ (w+V_{\epsilon }){|}_{\partial B_R}=0\\ (w+V_{\epsilon }){|}_{\partial B_{{\delta }_0}}⩾0\end{array}$$

对两个边值问题都应用极值原理：即对 $w-V_{\epsilon }⩽0$ ，$w+V_{\epsilon }⩾0$ ，有

$$|w|⩽V_{\epsilon }$$

根据 $(1.1)$ 式，再考虑上述不等式于 ${\delta }_0\to 0$ 的情形，即有

$$|w|⩽V_{\epsilon },x\in B_R\setminus \left\{A\right\}$$

令 $\epsilon \to 0$ 即有 $|u_1-u|\to 0,x\in B_R\setminus \left\{A\right\}$ . $\square$

调和函数的解析性

定理：调和函数的解析性

$\Delta u=0$ ，则 $u\in C^{\infty }$ （即实解析）.

（课堂未讲证明）

Remark.

注意：若 $v$ 是 $\Delta u=0$ 的 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 弱解，即对 $\forall \phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 都有： $⟨v,\Delta \phi ⟩=0$ 则 $v$ 称为 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 弱解.

Liouville 定理

定理：Liouville 定理

在全空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上调和且有界的函数必为常数.

由 $u$ 为调和函数，则有平均值公式：

$$u(0)=\frac{1}{|B_R|}{\int }_{B_R(0)}u(y)\mathrm{d}y,u(x)=\frac{1}{|B_R|}{\int }_{B_R(x)}u(y)\mathrm{d}y$$

考虑差值：

$$\begin{array}{rl}|u(x)-u(0)|& =\frac{1}{|B_R|}\left|{\int }_{B_R(0)}u(y)\mathrm{d}y-{\int }_{B_R(x)}u(y)\mathrm{d}y\right|\\ & ⩽\frac{1}{|B_R|}\left|{\int }_{B_R(x)\setminus B_R(0)}|u(y)|\mathrm{d}y+{\int }_{B_R(0)\setminus B_R(x)}|u(y)|\mathrm{d}y\right|\\ & ⩽\frac{M}{|B_R|}\left({\int }_{R<|y|<|x|+R}\mathrm{d}y+{\int }_{R-|x|<|y|<R}\mathrm{d}y\right)\\ & ⩽\frac{M}{|B_R|}{\int }_{R-|x|}^{R+|x|}\mathrm{d}y\\ & ⩽M\frac{1}{c_n{R}^n}{c}_n[(R+|x|{)}^n-(R-|x|{)}^n]\\ & =O\left(\frac{1}{R}\right)\to 0\end{array}$$

其中 $M=\sup |u(y)|$ . 即有 $u(x)=u(0)$ ，从而 $u$ 恒为常数. $\square$

Harnack 定理

定理：Harnack 定理

调和函数序列一致收敛的极限也是调和的.

证明： 取 $B\subset \subset \Omega$ ，$u_n$ 在 $\partial B$ 上一致收敛于 $u$ ，则

$$f_n(P)=u_n{|}_{\partial B}\to f(P)=u{|}_{\partial B}$$

考虑 $u_n(Q)$ 为

$$u_n(Q)={\int }_{\partial B}\frac{\partial G}{\partial \mathbf{n}}{f}_n(P)\mathrm{d}{S}_P\to {\int }_{\partial B}\frac{\partial G}{\partial \mathbf{n}}f(P)\mathrm{d}{S}_P=u(Q)$$

因此 $\Delta u=0,x\in B$ . $\square$

Harnack 不等式

定理：Harnack 不等式

设 $u$ 在 $\Omega$ 中非负调和，$B_{4R}\subset \subset \Omega$ ，则有： ${\sup }_{B_R}u⩽c^n{\inf }_{B_R}u$

证明： 先从球形区域开始，取 $P_1,P_2\in B_R(Q)$ ，则利用平均值公式有

$$u(P_1)=\frac{1}{|B_R|}{\int }_{B_R(P_1)}u(y)\mathrm{d}y,u(P_2)=\frac{1}{|B_{3R}|}{\int }_{B_{3R}(P_2)}u(y)\mathrm{d}y$$

注意我们以 $P_1,P_2$ 为球心分别作了半径为 $R,3R$ 的球，从几何关系易知 $|P_1{P}_2|<2R$ ，从而 $B_R(P_1)\subset B_{3R}(P_2)$ ，因此根据非负性

$${\int }_{B_R(P_1)}u\mathrm{d}y⩽{\int }_{B_{3R}(P_1)}u\mathrm{d}y$$

从而

$$u(P_1)⩽\frac{|B_{3R}|}{|B_R|}u(P_2)⩽3^{n}u(P_2)$$

因此由于 $P_1,P_2\in B_R$ ，故

$$\underset{B_R}{\sup }u⩽3^n\underset{B_R}{\inf }u$$

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对连通的紧子集 $K$ ，取 $R=\frac{1}{4}\mathrm{dist}(K,\partial \Omega )$ ，存在以 $R$ 为半径的球 $B_1,B_2,\cdots ,B_N$ 覆盖 $K$ ，在 $K$ 中任意两点 $P_1,P_2$ ，不妨设 $P_1\in B_{i1},P_2\in B_{i2}$ ，因此有

$$P_{j1},P_{j2},\cdots ,P_{jm}$$

使得

$$P_1{P}_{j1}\in B_{i1},,P_{j1}{P}_{j2}\in B_{j1},\cdots ,P_{jm}{P}_2\in B_{i2}$$

即一连串的球形区域，在球中成立

$$u(P_1)⩽3^{n}u(P_{j1}),u(P_{j1})⩽3^{n}u(P_{j2}),\cdots ,u(P_{jm})⩽3^{n}u(P_2)$$

于是

$$u(P_1)⩽cu(P_2)$$

根据 $P_1,P_2$ 的任意性，有

$$\underset{K}{\sup }u⩽c\cdot \underset{K}{\inf }u$$

即连通紧子集上的 Harnack 不等式成立. $\square$

注意后面的 N 仅与 $B_R$ 和 $K$ 有关.