数学物理方程 - 9.10 局部化原理 && 广义函数运算

局部化原理

定理：局部化原理

设 $u \in D^{'} (Ω)$ ，若 $Ω$ 存在一个开覆盖 ${U_{λ}}_{λ \in Λ}$ ，则 $u = 0$ 当且仅当 $u_{U_{λ}} = 0, \forall λ \in Λ$

必要性：可证 $u = 0$ 时， $u$ 在 $Ω$ 上的任意开子集的限制广义为 $0$ ，设 $U \subset Ω$ 为开集，则对任意的 $φ \in D (U)$ ，有

⟨ u_{U}, φ ⟩ = 0

这是由于我们已知对于 $φ \in D (Ω)$ ，上式成立，而缩小范围为 $U$ 时，对 $φ \in D (U)$ ，必有 $φ \in D (Ω)$ ，这是由于对于 $φ$ 可作零延拓：

\overset{φ}{^} = {φ, 0, x \in U x \in Ω ∖ U

此时其光滑性和紧支集未发生变化，于是结论成立.

充分性：局部到整体的我们可以很容易联想到单位分解，设 ${φ_{λ}}_{λ \in Λ}$ 为 $φ$ 从属于 ${U_{λ}}_{λ \in Λ}$ 的单位分解. 那么此时有下列条件：

于是对 $φ$ 有

⟨ u, φ ⟩ = ⟨ u, φ λ \sum φ_{λ} ⟩ = ⟨ u, λ \sum φ φ_{λ} ⟩ = λ \sum ⟨ u, φ φ_{λ} ⟩ = 0

此时我们仅需说明 $φ φ_{λ} \in C_{0}^{\infty} (U_{λ})$ ，只有其中的紧支集范围需要证明：

supp (φ φ_{λ}) \subset supp (φ_{λ}) \subset U_{λ}

因此结论成立. $□$

广义函数的线性性是指如下的运算性质：设 $f_{1}, f_{2} \in D^{'} (Ω)$ 且 $c_{1}, c_{2}$ 为常数，则对任意 $φ \in D (Ω)$ ，都有

⟨ c_{1} f_{1} + c_{2} f_{2}, φ ⟩ = c_{1} ⟨ f_{1}, φ ⟩ + c_{2} ⟨ f_{2}, φ ⟩

需要注意的是，这个地方和线性泛函的运算是有所区别的.

设 $f \in D^{'} (R^{n})$ ， $a \in R^{n}$ ， $u \in D (R^{n})$ ，

⟨ f (x - a), u (x) ⟩ = ⟨ f (x), u (x + a) ⟩

注意其中的区域为 $R^{n}$ 全空间，这样保证了平移不会超出区域.

设 $f \in D^{'} (Ω)$ ， $c \neq = 0$ 为常数，对任意的 $φ \in D (Ω)$ 有

⟨ f (c x), φ (x) ⟩ = \frac{1}{∣ c ∣ ^{n}} ⟨ f (x), φ (\frac{x}{c}) ⟩

其中 $Ω \subset R^{n}$ .

注意：

设 $f \in D^{'} (Ω)$ ， $\partial_{x_{i}}$ 为一阶的微分算子，则对任意的 $φ \in D (Ω)$ 有

定义：广义函数的微分运算

$⟨ \partial_{x_{i}} f, φ ⟩ = (- 1) ⟨ f, \partial_{x_{i}} φ ⟩$

设 $f \in D^{'} (Ω)$ ，称 $a (x) \in C^{\infty} (Ω)$ 为 $D^{'}$ 乘子，定义乘子运算有

⟨ a f, φ ⟩ = ⟨ f, a φ ⟩, \forall φ \in C_{0}^{\infty} (Ω)