数学物理方程 - 9.12 广义函数的极限运算 && 卷积

广义函数的极限运算

定义：广义函数极限

设 $\left\{f_j\right\}\subset {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，若对 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，任意的 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 有 $⟨f_j,\phi ⟩\to ⟨f,\phi ⟩$ 则称 $f_j\to f$ .

广义函数收敛实际上就是泛函分析当中的弱 $\ast$ 收敛. 即泛函的像构成的数列收敛.

定理：微分保持收敛性

设 $f_n\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，且 $f_n\to f\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，则对任意 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$ 有 ${\partial }^{\alpha }{f}_n\to {\partial }^{\alpha }f$

证明考虑切换微分符号

$$⟨{\partial }^{\alpha }{f}_n,\phi ⟩=(-1{)}^{|\alpha |}⟨f_n,{\partial }^{\alpha }\phi ⟩\to ⟨⟩=⟨{\partial }^{\alpha }f,\phi ⟩$$

可得结论成立. $\square$

例：求广义函数的极限

令 $f_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|⩾\epsilon \\ \frac{1}{2\epsilon }& |x|<\epsilon \end{array}$ 求 $f_{\epsilon }$ 作为广义函数时在 $\epsilon \to 0$ 的广义函数极限.

从直观上，它类似 $\delta$ 函数的不精确定义，可猜想极限即为 $\delta$ 函数，下面证明这一点，首先 $f_{\epsilon }\in L_{\mathrm{loc}}(\Omega )$ ，因此对于任意 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ ，有

$$⟨f_{\epsilon },\phi ⟩={\int }_{-\epsilon }^{\epsilon }\frac{1}{2\epsilon }\phi (x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2\epsilon }(\psi (\epsilon )-\psi (-\epsilon ))$$

其中 $\psi$ 为 $\phi$ 的原函数，令 $\epsilon \to 0$ 时，根据导数定义有

$$⟨f_{\epsilon },\phi ⟩\to \phi (0)=⟨\delta ,\phi ⟩$$

故广义函数极限为 Dirac 函数 $\delta$ . $\square$

$\mathcal{E}$ 函数空间和 ${\mathcal{E}}^{\prime }$ 广义函数

定义： $\mathcal{E}$ 函数空间和 ${\mathcal{E}}^{\prime }$ 广义函数

由 $C^{\infty }$ 函数全体构成的空间记为 $\mathcal{E}$ 函数空间. 其上的连续线性泛函空间记为 ${\mathcal{E}}^{\prime }$ 广义函数空间.

有如下的基本结论：

• $\mathcal{D}(\Omega )\subset \mathcal{E}(\Omega )$ .
• ${\mathcal{E}}^{\prime }(\Omega )\subset {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ .

函数与函数的卷积

函数间卷积的定义与性质

定义：卷积

设 $f,g$ Lebesgue 可积且至少有一个具有紧支集，则可定义卷积为： $(f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y$

接下来逐一说明卷积函数具有如下的性质：

• 交换律；
• 结合律；
• 可微分；
• 支集包含于两函数支集的和集当中；

卷积函数 $f\ast g$ 是良定义的.

条件中有“至少有一个具有紧支集”，不妨设 $g$ 具有紧支集，则积分区域可缩小为 $\mathrm{supp}(g)$ ，此外，$f,g$ 都是可积的，因此它们的乘积在紧集上也是可积的.

$f\ast g=g\ast f$ .

$$\begin{array}{rl}(g\ast f)(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(y)f(x-y)\mathrm{d}y\\ & \stackrel{z=x-y}{=}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x-z)f(z)\mathrm{d}z\\ & =(f\ast g)(x)\end{array}$$

因此交换律成立. 注意上述的积分在换元后不存在符号的问题，原因是 Lebesgue 积分是没有方向的. $\square$

$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$ .

$$\begin{array}{rl}((f\ast g)\ast h)(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left[{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(y)f(z-y)\mathrm{d}y\right]h(x-z)\mathrm{d}z\\ & \stackrel{(\text{Fubini})}{=}{\iint }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}g(y)f(z-y)h(x-z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & \stackrel{t=z-y}{=}{\iint }_{{\mathbb{R}}^{2n}}f(t)g(y)h(x-y-t)\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(t)\left[{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(y)h(x-t-y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}t\\ & =(f\ast (g\ast h))(x)\end{array}$$

因此结合律成立，注意中间使用了两次 Fubini 定理. $\square$

设 $f\in C_0({\mathbb{R}}^n)$ ，且 $g\in C^k({\mathbb{R}}^n)$ ，则 $f\ast g\in C^k({\mathbb{R}}^n)$ . 且微分满足： ${\partial }_x^{\alpha }(f\ast g)=f\ast ({\partial }_x^{\alpha }g)=({\partial }_x^{\alpha }f)\ast g$

我们直接从微分的定义考虑即可：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f\ast g)(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f\ast g)(x+h)-(f\ast g)(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)[g(x+h-y)-g(x-y)]\mathrm{d}y\end{array}$$

此时利用 Lebesgue 控制收敛定理即可：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{LHS}& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}[g(x+h-y)-g(x-y)]\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)({\partial }_x^{\alpha }g)(x-y)\mathrm{d}y\\ & =(f\ast ({\partial }_x^{\alpha }g))(x)\end{array}$$

第二个等号考虑利用交换律即可. $\square$

$\mathrm{supp}(f\ast g)\subset \mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g)$ ，其中 $\mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g)=\left\{x+y,x\in \mathrm{supp}(f),y\in \mathrm{supp}(g)\right\}$

假设 $x\notin \mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g)$ ，下证 $x\notin \mathrm{supp}(f\ast g)$ ，由于 $\mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g)$ 为闭集，存在 $U_x$ 为 $x$ 的邻域使得

$$U_x\cap (\mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(g))=\varnothing$$

对于任意 $y\in \mathrm{supp}(f)$ ，平移 $U_x$ 使得其为 $U_{x-y}$ ，以 $x-y$ 代替 $x$ ，则

$$U_{x-y}\cap \mathrm{supp}(g)=\varnothing$$

从而 $g$ 在 $U_{x-y}$ 上的取值恒为 $0$ . 因此 $f\ast g$ 在 $U_x$ 上的取值恒为 $0$ . 即 $x\notin \mathrm{supp}(f\ast g)$ . $\square$

Hausdorff-Young 不等式