数学物理方程 11.21 - Cauchy 问题解的唯一性和稳定性、Fourier 方法

Cauchy 问题解的唯一性和稳定性

上次我们讨论了初边值问题解的唯一性和稳定性，接下来考虑 Cauchy 问题的解，即：

$$({\mathrm{P}}_{\mathrm{C}})\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& \\ u{|}_{t=0}=\phi (x),& -\infty <x<+\infty \end{array}$$

的解的唯一性和稳定性.

注意

Cauchy 问题的唯一性和稳定性问题在有界函数全体当中进行研究，此时讨论的有界是对两个变量的一致有界：换言之存在 $B>0$ ，对任意的 $t⩾0$ 和 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，都成立 $|u(x,t)|⩽B$

下面进行证明.

唯一性

设 $u_1,u_2$ 均满足 $({\mathrm{P}}_{\mathrm{C}})$ ，令 $u\equiv u_1-u_2$ ，则

$$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0& \\ u{|}_{t=0}=0,& x\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$

要证明对有界函数 $u$ ，必有 $u\equiv 0$ ，取任意固定 $(x_0,t_0)$ ，$t_0>0$ ，考虑

$$R_0=\left\{(x,t)\mid |x-x_0|⩽L,0⩽t⩽t_0\right\}$$

作辅助函数：

$$v(x,t)=\frac{4B}{L^2}\left(\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+a^{2}t\right)\in C(R_0)$$

经过计算可得

$$\frac{\partial v}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=0$$

此时的 $v$ 满足方程，且在 $R_0$ 的抛物边界上，底边有

$$v(x,t){|}_{t=0}=\frac{2B}{L^2}(x-x_0{)}^2$$

侧边有

$$v(x_0\pm L,t)=2B+a^2\frac{4B}{L^2}t⩾2B⩾u(x_0\pm L,t)$$

因此

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial v}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=0\\ v{|}_{\partial R_0}⩾u{|}_{\partial R_0}\end{array}$$

根据极值原理，可知在 $R_0$ 上成立 $v⩾u$ ，因此

$$u(x,t)⩽\frac{4B}{L^2}\left(\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+a^{2}t\right)$$

同理可证：

$$-\frac{4B}{L^2}\left(\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+a^{2}t\right)⩽u(x,t)$$

最后有

$$|u(x,t)|⩽\frac{4B}{L^2}\left(\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+a^{2}t\right)$$

取 $x=x_0,t=t_0$ 有

$$|u(x_0,t_0)|⩽\frac{4B}{L^2}{a}^2{t}_0$$

令 $L\to \infty$ ，有 $|u(x_0,t_0)|⩽0$ . 即 $u\equiv 0$ （根据 $(x_0,t_0)$ 的任意性）.

稳定性

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0\\ u{|}_{t=0}=\phi (x)\end{array}$$

存在 $\eta$ 有 $|\phi (x)|<\eta$ ，解的稳定性的证明和唯一性证明是同理的，考虑

$$v(x,t)=\frac{4B}{L^2}\left(\frac{(x-x_0{)}^2}{2}+a^{2}t\right)+\eta$$

作用热传导算子后得 $0$ ，这表明对于任意固定 $(x_0,t_0)$ 有同理 $|u(x_0,t_0)|⩽\eta$ .

Fourier 方法

Fourier 方法是针对 $n=1$ 情形的初边值问题求解的方法，即有

$$(\mathrm{P}1)\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0\\ u(0,t)=u(l,t)=0\\ u(x,0)=\phi (x)\end{array}$$

这也是最简单的一种情形，下面来讨论 Fourier 方法的思路.

初边值问题的 Fourier 方法

分为三步：

• 变量分离；
• 验证满足方程；
• 根据唯一性结论得到结果.

首先视为变量分离解：

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

考虑将上述函数代入 $(\mathrm{P}1)$ ，有

$$X(x)T^{\prime }(t)=a^2{X}^{\prime \prime }(x)T(t)$$

得到

$$\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}=\frac{T^{\prime }(t)}{a^{2}T(t)}=-\mu$$

其中 $\mu$ 为常数，有

$$X^{\prime \prime }(x)+\mu X(x)=0$$

考虑边值：

$$u(0,t)=X(0)T(t)=0,u(l,t)=X(l)T(t)=0$$

我们就得到了一个 ODE 边值问题：

$$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }(x)+\mu X(x)=0\\ X(0)=X(l)=0\end{array}$$

经过分类讨论（略过其中平凡解的部分），当且仅当 $\mu >0$ 时解得

$$X(x)=c_1\cos \sqrt{\mu }x+c_2\sin \sqrt{\mu }x$$

代入 $0$ 可得 $c_1=0$ ，代入 $l$ 可得

$$X(l)=c_2\sin \sqrt{\mu }l=0$$

为了使得上述的 $c_2\ne 0$ ，需要对 $\mu$ 作一些限制，即

$$\sqrt{\mu }l=k\pi ,{\mu }_k={\left(\frac{k\pi }{l}\right)}^2$$

因此 $X_k(x)=c_k\sin \frac{k\pi }{l}x$ . 固定 ${\mu }_k$ 后可得

$$T_k^{\prime }(t)+a^2{\mu }_k{T}_k(t)=0$$

这是一个一阶齐次线性 ODE 问题，那么容易解得

$$T_k(t)=B_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}$$

于是最后有

$$u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)=A_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{t}x\right)$$

Sturm-Liouville 问题

上述 Fourier 方法中，有关 ${\mu }_k$ ，$X_k(x)$ 的具体性质问题为 Sturm-Liouville 问题.