数学物理方程 12.24 - 能量方法

本节课只讲了两道例题（估计会考）

能量方法的概述：分为动能：

$$U=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\rho u_t^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

以及位势能（以二维的为例）：

$$V=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }T(u_x^2+u_y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

因此能量积分应形如：

$$E(t)={\int }_{\Omega }{u}_t^2+a^2(u_x^2+u_y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

能量法的基本思路在于：

• 写出能量积分
• 对能量积分式的 $t$ 求导有 $E^{\prime }(t)$ .
• 注意导数的正负性，并说明能量是否减少.

例 1

对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动，满足方程： $u_{tt}-a^2{u}_{xx}+c{u}_t=0,c>0$ 证明能量减少，并证明： $u_{tt}-a^2{u}_{xx}+c{u}_t=f$ 初边值问题解的唯一性.

弦振动方程的能量积分为：

$$E(t)={\int }_{\Omega }(u_t^2+a^2{u}_x^2)\mathrm{d}x$$

此时对 $t$ 求导有

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E(t)& ={\int }_{\Omega }[2u_t{u}_{tt}+2a^2{u}_x{u}_{xt}]\mathrm{d}x\\ & =2{\int }_a^b(u_t{u}_{tt}+a^2({\partial }_x(u_x{u}_t)-u_{xx}{u}_t))\mathrm{d}x\\ & =2{\int }_a^b{u}_t(u_{tt}-a^2{u}_{xx})\mathrm{d}x+2a^2{\int }_a^b{\partial }_x(u_x{u}_t)\mathrm{d}x\end{array}$$

根据两段固定，可知 $u(a,t)=u(b,t)=0$ ，于是

$$E^{\prime }(t)=-2c{\int }_a^b{u}_t^2\mathrm{d}x⩽0$$

因此能量逐渐减少. 下面再证明唯一性：

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}-a^2{u}_{xx}+c{u}_t=0,t>0,c>0\\ u(a,t)=u(b,t)=0\\ u{|}_{t=0}=\phi (x)\\ {\partial }_{t}u{|}_{t=0}=\psi (x)\end{array}$$

令 $u=u_1-u_2$ 满足

$$({\mathrm{P}}_0)\{\begin{array}{l}{u}_{tt}-a^2{u}_{xx}+c{u}_t=0,t>0,c>0\\ u{|}_{x=a}=u{|}_{x=b}=0\\ u{|}_{t=0}=\partial u{|}_{t=0}=0\end{array}$$

根据能量减少的结论，有

$$E(t)⩽E(0)={\int }_a^b{u}_t^2(x,0)+a^2{u}_x(x,0)\mathrm{d}x=0$$

于是 $E(t)\equiv 0$ ，从而 $u_x=u_t=0$ ，即 $u\equiv C$ . 根据边值条件可知 $u\equiv 0$ ，唯一性成立. $\square$

例 2

利用能量积分函数： $E(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^l[k(x)u_x^2+\rho (x)u_t^2+q(x)u^2]\mathrm{d}x$ 证明：问题 $\{\begin{array}{l}\rho (x)u_{tt}-[k(x)u_x{]}_x+q(x)u=0,0<x<l,t>0\\ u(x,0)=u_t(x,0)=0,x\in [0,l]\\ u(0,t)=u(l,t)=0,t⩾0\end{array}$ 的解 $u\equiv 0$ ，其中 $k(x)⩾k_0>0,q(x)⩾q_0>0,\rho (x)⩾{\rho }_0>0$ .

证明：考虑

$$E(t)⩽E(0)=\frac{1}{2}{\int }_0^{l}k(x)u_x^2(x,0)\mathrm{d}x$$

根据问题条件有

$$\rho (x)u_{tt}+q(x)u=k^{\prime }(x)u_x+k(x)u_{xx}$$

代入到能量积分有

$$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }(t)& =\frac{1}{2}{\int }_0^{l}2k(x)u_x{u}_{xt}+2\rho (x)u_t{u}_{tt}+2q(x)u{u}_t\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^l[{\partial }_x[k(x)u_x{u}_t]-{\partial }_x[k(x)u_x]u_t+2\rho (x)u_t{u}_{tt}+2q(x)u{u}_t]\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^l{u}_t[\rho (x)u_{tt}-{\partial }_x(k(x)u_x)+q(x)u]\mathrm{d}x+{\int }_0^l{\partial }_x(k(x)u_x{u}_t)\mathrm{d}x\end{array}$$

第一个积分根据问题当中的方程可知为 $0$ ，第二个积分直接求解可得为 $0$ ，因此 $E^{\prime }(t)=0$ ，于是

$$E(t)=E(0)=0$$

从而 $u\equiv 0$ . $\square$