数学物理方程 12.5 - 弦振动方程的 Cauchy 问题和初边值问题

弦振动方程的 Cauchy 问题

我们首先来讨论一维波动方程的 Cauchy 问题，即如下的问题：

$$(\mathrm{Pc})\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x),x\in \mathbb{R}\end{array}$$

和热传导方程类似，我们考虑的还是叠加原理+ Duhamel 原理，只不过在处理齐次问题的方法上有所区别. 我们分为：

$$({\mathrm{Pc}}_1)\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x),x\in \mathbb{R}\end{array}$$

以及：

$$({\mathrm{Pc}}_2)\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\end{array}$$

那么我们首先考虑齐次问题 $({\mathrm{Pc}}_1)$ .

齐次问题与 d’Alembert 解

一维齐次波动方程 Cauchy 问题的解称为 d’Alembert （达朗贝尔）解，它的求解思路首先从换元开始：

$$\xi =x-at,\eta =x+at$$

我们分别求导有：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi }+\frac{\partial u}{\partial \eta }\\ \frac{\partial u}{\partial t}=-a\left(\frac{\partial u}{\partial \xi }-\frac{\partial u}{\partial \eta }\right)\end{array}$$

再求导有

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}+2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }$$

同理

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }\right)$$

我们将上述两个二阶导代回到波动方程当中，可得

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial \eta }=g(\eta )$$

因此我们最终可将解表示为：

$$u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

我们现在就需要找到 $F$ 和 $G$ ，代入初值条件有

$$\{\begin{array}{l}F(x)+G(x)=\phi (x)\\ (-a)F^{\prime }(x)+a{G}^{\prime }(x)=\psi (x)\end{array}$$

我们对第二个式子进行积分有

$$(-a)[F(x)-G(x)]+C={\int }_{x_0}^x\psi (y)\mathrm{d}y$$

其中 $C$ 为常数，从而：

$$\{\begin{array}{l}F(x)=\frac{1}{2}\phi (x)-\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^x\psi (y)\mathrm{d}y+\frac{C}{2a}\\ G(x)=\frac{1}{2}\phi (x)+\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^x\psi (y)\mathrm{d}y-\frac{C}{2a}\end{array}$$

代入 $(1.1)$ 可得

定理：弦振动方程 Cauchy 问题的 d'Alembert 公式

$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x-at)+\phi (x+at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (y)\mathrm{d}y$

$F,G$ 有各自的物理意义，分别称为正波、反波，由于这不是我们重点关注的部分，在此略过.

Duhamel 原理解非齐次零初值问题

再考虑：

$$({\mathrm{Pc}}_2)\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\end{array}$$

此时利用 Duhamel 原理，考虑

$$u_2={\int }_0^{t}w(x,t;\tau )\mathrm{d}\tau$$

其中 $w$ 为如下问题的解：

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0,t>\tau \\ w{|}_{t=0}=0\\ \frac{\partial w}{\partial t}{|}_{t=\tau }=f(x,\tau )\end{array}$$

验证过程同热传导问题. 这个问题就是 $({\mathrm{Pc}}_1)$ 的特殊情形，直接代入 d’Alembert 解即可：

$$w(x,t;\tau )=\frac{1}{2a}{\int }_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(y,\tau )\mathrm{d}y$$

即有形式解：

$$u_2(x,t)=\frac{1}{2a}{\int }_0^t{\int }_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(y,\tau )\mathrm{d}y\mathrm{d}\tau$$

综上有

定理：弦振动方程的 Cauchy 问题

弦振动方程 $(\mathrm{Pc})$ 的解为： $\begin{array}{rl}u(x,t)& =\frac{1}{2}[\phi (x-at)+\phi (x+at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (y)\mathrm{d}y\\ & +\frac{1}{2a}{\int }_0^t{\int }_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(y,\tau )\mathrm{d}y\mathrm{d}\tau \end{array}$

弦振动方程的初边值问题

接下来考虑初边值（零边值）问题：

$$(\mathrm{P})\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x),x\in \mathbb{R}\\ u(0,t)=u(l,t)=0\end{array}$$

同样还是利用叠加原理：

$$({\mathrm{P}}_1)\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x),x\in \mathbb{R}\\ u(0,t)=u(l,t)=0\end{array}$$

以及

$$({\mathrm{P}}_2)\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=0,x\in \mathbb{R}\\ u(0,t)=u(l,t)=0\end{array}$$

其中：

• $({\mathrm{P}}_1)$ 的解法依靠 Fourier 方法.
• $({\mathrm{P}}_2)$ 的解法依靠 Duhamel 原理.

Fourier 方法解问题一

对 $({\mathrm{P}}_1)$ 令 $u(x,t)=X(x)T(t)$ ，则有

$$\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}=\frac{T^{\prime \prime }(t)}{T(t)}=\mu$$

则化简为二阶线性 ODE 初值问题：

$$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }(x)+\mu X(x)=0\\ X(0)=X(l)=0\end{array}$$

解特征方程有 ${\lambda }_1=\sqrt{-\mu }$ 以及 ${\lambda }_2=-\sqrt{-\mu }$ ，当且仅当 $\mu >0$ 时上述方程有非平凡解：

$$X(x)=c_1\sin \sqrt{-\mu }x+c_2\cos \sqrt{-\mu }x$$

取 $x=0$ 后可得 $c_2=0$ ，则

$$c_1\sin \sqrt{-\mu }l=0,\sqrt{-\mu }l=k\pi$$

那么可得

$${\mu }_k={\left(\frac{k\pi }{l}\right)}^2,k=1,2,3,\cdots$$

继而

$$X_k(x)=c_k\sin \left(\frac{k\pi }{l}x\right),k=1,2,\cdots$$

和热传导方程的 S-L 问题是一样的.

Duhamel 原理求解第二个问题

$$u(x,t)={\int }_0^{t}w(x,t;\tau )\mathrm{d}\tau$$

注意其中的 $w$ 为

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0,t>0\\ w(x,\tau )=0,\frac{\partial w}{\partial t}(x,\tau )=f(x,t)\\ w(0,t)=w(l,t)=0\end{array}$$

从而代入 Fourier 解法的解即可：

$$w(x,t;\tau )=\sum _{k=1}^{\infty }{B}_k(\tau )\sin \left[\frac{ak\pi }{l}(t-\tau )\right]\sin \left(\frac{k\pi }{l}x\right)$$

其中

$$B_k(\tau )=\frac{2}{k\pi a}{\int }_0^{l}f(x,\tau )\sin \left(\frac{k\pi }{l}x\right)\mathrm{d}x$$