数学物理方程 9.19 - 函数和广义函数的卷积

函数和广义函数的卷积

函数和广义函数卷积的定义

定义：函数和广义函数之间的卷积

若 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，$g\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，则 $(f\ast g)(x)=⟨f(y),g(x-y)⟩$

它依旧是一个广义函数作用在 $C_0^{\infty }$ 函数上的定义，定义中尤其强调将 $y$ 写出来以显示作用变量.

书上在这里的记号写的很复杂，实际上就是一个平移算子和一个反射，有：

$$({\tau }_{x}g)(y)=g(x+y)$$

反射后有

$$({\tau }_{x}g)\stackrel{ˇ}{}(y)=g(x-y)$$

实际上和我们这里的定义是一致的.

例：Dirac 函数

对 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，求 $\delta \ast f$.

有

$$\delta \ast f=⟨\delta (y),f(x-y)⟩=f(x-0)=f(x)$$

也就是说，Dirac 函数是广义函数与函数的卷积运算的单位元. $\square$

函数和广义函数卷积的性质

没有交换性.

这是由于 ${\mathcal{D}}^{\prime }\ast C_0^{\infty }$ 的定义和 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 的作用顺序已确定，不能交换顺序.

微分：对 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime },\phi \in C_0^{\infty }\Rightarrow f\ast \phi \in C^{\infty }$ . 同时有 ${\partial }_x^{\alpha }(f\ast \phi )=({\partial }_x^{\alpha }f)\ast \phi =f\ast ({\partial }_x^{\alpha }\phi )$

对于 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，$\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ ，有 $\mathrm{supp}(f\ast \phi )\subset \mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(\phi )$ ，其中 $\mathrm{supp}(f)+\mathrm{supp}(\phi )=\left\{x+y,x\in \mathrm{supp}(f),y\in \mathrm{supp}(\phi )\right\}$